文章大纲
统计物理的基本概念
热力学系统、外界
微观粒子体系的基本特征
- 分子(或原子)非常小。
- 热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.
- 分子或原子都以不同的速率不停地运动。
- 分子之间存在相互作用力--分子力.
平衡态与非平衡态
\(pV=n_ART=\dfrac{M}{M_{m o l}} RT\)
普适气体常量\(R=8.31\text{J/mol}\)
理想气体的压强 温度和内能
理想气体微观模型
- 分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。
- 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。
- 分子间的碰撞是完全弹性的。
- 分子所受重力忽略不计
理想气体的压强公式
平衡态下，
\[\overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}}=\frac{1}{3} \overline{v^{2}}\]
\[p=n m \bar{v}_{x}^{2}=\frac{1}{3} n m \overline{v^{2}}\]
\[\text {分子的平均平动动能: }\bar{w}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}\]
\[p=\frac{2}{3} n \bar{w}\]
分子的平均平动动能与温度的关系
\(M\)：总质量
\[p V=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}} R T \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{V} \frac{N m}{N_{A} m} R T=n \frac{R}{N_{A}} T\]
\[\text{玻尔兹曼常量 }k=\dfrac{R }{ N_{\mathrm{A}}}=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{K}^{-1}\]
\[p=n k T\]
\[p=\frac{2}{3} n \bar{w}\]
\[\bar{w}=\frac{1}{2} m \bar{v}^{2}=\frac{3}{2} k T\]
温度是气体分子平均平动动能大小的量度.
自由度
\(i=3或5或6\)
分子的平均动能为: \(\bar{\varepsilon}=\frac{1}{2}(t+r) k T=\frac{i}{2} k T\)
\(1 \mathrm{~mol}\) 理想气体的内能为 \(E_{\mathrm{mol}}=N_{\mathrm{A}}\left(\dfrac{i}{2} k T\right)=\dfrac{i}{2} R T\)
一定质量理想气体的内能为 \(E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R T\)
温度改变, 内能改变量为 \(\Delta E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R \Delta T\)
麦克斯韦分子速率分布率
\(\Delta N: v \sim v+\Delta v\) 内的分子数
分子出现在 \(v \sim v+\Delta v\) 速率区间内的概率\(\Delta S=\frac{\Delta N}{N}\)
\(f(v)=\dfrac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~N} \mathrm{d} v}\)
\(f(v) \mathrm{d} v=\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=\mathrm{d} S\)
\(f(v)\)的物理含义：表示在温度为\(T\)的平衡状态，速率在\(v\)附近单位速率区间的分子数占总数的百分比（概率密度).
\(f(v) \mathrm{d} v\)的物理含义：表示速率在 \(v \rightarrow v+\mathrm{d} v\) 区间的分子数占总分子数的百分比.
速率在 \(v \rightarrow v+\mathrm{d} v\) 内分子数 \[d N=N f(v) \mathrm{d}v\]
速率在 \(v_{1} \rightarrow v_{2}\) 区间的分子数 \[\Delta N=\int \mathrm{d} N=\int_{v_{1}}^{v_{2}} N f(v)\mathrm{d} v\]
速率在 \(v_{1} \rightarrow v_{2}\) 区间内分子数占总数的百分比 \[\dfrac{\Delta N}{N}=\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v\]
归一化条件 总面积: \[\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v=\frac{\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} N}{N}=\frac{N}{N}=1\]
麦克斯韦分布律
麦克斯韦速度分布律
\[\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=F(v) \mathrm{d} w=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 T_{0}}} \mathrm{~d} v_{x} \mathrm{~d} v_y \mathrm{~d} v_{z}\]
麦克斯韦速度分布函数 \[F(v)=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 k T}}\]
麦克斯韦速率分布律 \[\frac{\mathrm{d} N}{N}=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2} \mathrm{~d} v\]
麦克斯丰速率分布函数 \[f(v)=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2}\]
分子速率的三个统计值
最概然速率
\[\left.\frac{\mathrm{d} f(v)}{\mathrm{d} v}\right|_{v=v_{p}}=0\]
\[v_{p}=\sqrt{\dfrac{2 k T}{m}}=\sqrt{\dfrac{2 R T}{M}} \approx 1.41 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}\]
平均速率
\[\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}}=\sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}} \approx 1.60 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}\]
方均根速率
\[\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}} \approx 1.73 \sqrt{\frac{R T}{M}}\]
速率介于\(v_1~v_2\)之间的气体分子的平均速率的计算
\[\bar{v}_{v_{1} \sim v_{2}}=\frac{\int_{v_{1}}^{v_{2}} v f(v) \mathrm{d} v}{\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v}\]
对于\(v\)的某个函数 \(g(v)\),一般地, 其平均值可以表示为 \[\overline{g(v)}=\frac{\int_{0}^{\infty} g(v) f(v) \mathrm{d} v}{\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v}\]
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律(P213)
麦克斯韦一玻尔兹曼分布(M-B 分布)： \[f(E)=C \mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}\]
玻尔兹曼因子: \[ \mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}\]
粒子数按势能分布（\(n_0\)为零势能处的分子数密度）：
\[n=n_{0} \mathrm{e}^{-E_{p} / k T}\]
能级：
\[N_{i}=A \mathrm{e}^{-E_{i} / k T}\]
\[\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\mathrm{e}^{-\frac {\left(E_{1}-E_{2}\right)}{kT}}\]
重力场中粒子按高度的分布
重力场中粒子按高度的分布规律: \[n=n_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}\]
恒温气压公式:
\[p=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{Mg h}{R T}}\]
\(h=\dfrac{R T}{Mg} \ln \dfrac{p_{0}}{p}\)
气体的输运过程
输运过程有三种：热传导、扩散、内摩擦.
平均碰撞频率(一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数):
\[\bar{Z}=\sqrt{2} \pi d^{2} \bar{v} n\]
平均自由程:
\[\bar{\lambda}=\dfrac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\dfrac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n}=\dfrac{k T}{\sqrt{2} \pi d^{2} p}\]
\(d\)与气体种类有关。
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