Intro

圆锥曲线的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆反射后都集中到椭圆的另一焦点上.
从双曲线的一个焦点射出光线，光线碰到双曲线边界反射后的路径的反向延长线经过另一个焦点.
从抛物线的焦点射出光线，光线碰到抛物线边界反射后的路径平行于抛物线的对称轴.

简易证明：以椭圆为例。（希尔伯特同一法）
接下来就是要说明 $P$ 和 $P’$ 为同一点 . 首先由作图过程可知, $P'$ 为 $l$ 上使得 $P'F _1+ P ^′ F _2$ 最小的点 . 然后又因为 $l$ 为过 $P$ 的切线 , 所以有 $P ^′ F _1+ P ^′ F _2 \geqslant PF _1+ PF _2$ 综上所述 , 即有 $P'F _1 ＋ P ^′ F _2 = PF _1+ PF _2$ ﹐即 $P$ 与 $P'$ 重合 . 因此 , $PF _2$ 就是光线反射后的路径 .

详细证明：以椭圆为例。
如本文第一张图，则过 $P$ 点的切线 $l : \dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+ \dfrac{y_{0}y}{b^{2}}=1$ , 直线 $l$ 的法线交 $x$ 轴于 $Q$ , 直线 $l$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=( \dfrac{x_{0}}{a^{2}}, \dfrac{y_{0}}{b^{2}})$
因 $\overrightarrow{PF_{1}}=(-c-x_{0},-y_{0})$ , $\overrightarrow{PF_{2}}=(c-x_{0},-y_{0})$ ,
所以 $PF_2 =$ $c ^2+ x _0 ^{2}+y_{0}^{2}-2cx_{0}$ $=c^{2}+x_{0}^{2}-2cx_{0}+b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}$ =$
同理 $|PF_{1}|^{2}= \dfrac{(a^{2}+cx_{0})^{2}}{a^{2}}$ . 因为 $\overrightarrow n\cdot\overrightarrow{PF_{1}}$ = - $= \dfrac{-cx_{0}-x_{0}^{2}}{a^{2}}-b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}=$ $\dfrac{-a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}$ ,
所以 $\cos \angle F_{1}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_{1}}}{| \overrightarrow{PF_{1}}| \cdot |\overrightarrow{n}|}\right|=$ $\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}.$
同理 $\cos \angle F_{2}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow{PF_{2}}}{|\overrightarrow {PF_{2}}| \cdot |\overrightarrow n|}\right|=\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}$
所以 $∠ F _1PQ = ∠ F _2 PQ$ , 即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.

小试牛刀

（2021-2022学年广东省佛山市高二上期末数学试卷）直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 与椭圆C: $\dfrac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$ 相切于点P，椭圆C的焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，由光学性质知直线 $PF _ {1}$ ， $PF_{ 2}$ 与 $l$ 的夹角相等，则 $∠F _ { 1 } P F _ { 2 }$ 的角平分线所在的直线的方程为( $\quad$ ).
$\text{A. }2 x - y - 1 = 0\quad$ $\text{B. }x - y + 1 = 0\quad$ $\text{C. }2 x - y + 1 = 0\quad$ $\text{D. }x - y - 1 = 0$
解析
由 $\left\{\begin{matrix} x + 2 y - 8 = 0 , \\ 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 8 , \end{matrix} \right.$ 解得 $y = 3 , x = 2$ ，即 $P(2,3)$ .
由光学性质知直线 $P F _ { 1 }$ ， $P F _ { 2 }$ 与 $l$ 的夹角相等，则 $∠F _ { 1 } P F _ { 2 }$ 的角平分线所在的直线为法线，即与直线 $l$ 垂直.
又直线 $l:x + 2 y - 8 = 0$ ，所以设所求的直线方程为 $2 x - y + m = 0$ .
将 $P(2，3)$ 代入直线方程 $2 x - y + m = 0$ 中，可得 $m = - 1$ .
所以 $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ 的角平分线所在的直线的方程为 $2 x - y - 1 = 0$ .
故选择答案:A.
（2011年高考全国卷II理科第15题）已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{27}=1$ 的左、右焦点，点 $A\in C$ ，点M的坐标为 $(2,0)$ , $AM$ 为 $\angle F_{1}AF_{2}$ 的平分线，则 $\left| AF_{2} \right|=\underline{\quad}.$
解析
设A( $x_{0}$ ， $y_{0}$ ),则双曲线 $C$ 在点 $A$ 处的切线也即直线 $AM$ 的方程为 $\dfrac{x_{0}x}{9}-\dfrac{y_{0}y}{27}=1$ .
因为它过点 $M(2，0)$ , 所以 $x_{0}=\dfrac{9}{2}$ ,
得 $\left| AF_{2} \right|=$ $\left| a-ex_{0} \right|=\left| 3-2\cdot\dfrac{9}{2} \right|=6$

大显身手

解析
方程 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 两边关于 $x$ 求导得 $\dfrac{2x}{4}+2y \cdot y^{ \prime }=0$ , 并设 $P ( x_0 , y _0 )$ , 所以切线斜率 $k=- \dfrac{x_{0}}{4y_{0}}$ ,
则 $P ( x _0 , y _0 )$ 处的法线方程 $y-y_{0}= \dfrac{4y_{0}}{x_{0}}(x-x_{0})$ , 令 $y = 0$ , 则 $m= \dfrac{3}{4}x_{0}$ , $x _0 \in( -2 , 2 )$ , 所以 $m \in \left(- \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ .
(2010安徽) 已知 $F _1$ , $F _2$ 为椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+ \dfrac{y^{2}}{12}=1$ 的左右焦点 ,点 $A ( 2 , 3 )$ 在椭圆上 , 求 $∠ F _1AF _2$ 的角平分线所在的直线方程.
解析
切线方程 $\dfrac{x_{1} x}{16}+\dfrac{y_{1} y}{12}=1$
$\dfrac{2x}{16}+\dfrac{3 y}{12}=1$ , 即 $\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1$
$k=-\dfrac{1}{2}$
$\therefore y-3=2(x-2)$
$2x-y-1=0$
(2011年北京大学保送生考题)求证：过双曲线上一点P的切线平分 $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ ，其中 $F _ { 1 }$ 、 $F _ { 2 }$ 为焦点.
解析
如图所示，设点P为双曲线 $\Gamma$ (其左、右焦点分别是 $F _ { 1 }$ 、 $F _ { 2 }$ )右支上任意给定的点，
过点P作 $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ 的平分线 $l ( \angle 3 = \angle 4 )$ .先证明 $l$ 和 $\Gamma$ 相切于点P，
只要证明 $l$ 上异于点 $P$ 的点 $P ^ { \prime }$ 都在双曲线F的外部(把含双曲线焦点的区域称为该双曲线的内部)，
即证 $\left| P ^ { \prime } F _ { 1 } \right| -\left| P ^ { \prime } F _ { 2 } \right| <\left| P F _ { 1 } \right| -\left| P F _ { 2 } \right|$ .
由 $\left| P F _ { 1 } \right| > \left| p F _ { 2 } \right|$ 知，可在直线 $P F _ { 1 }$ 上选取点 $F ^ { \prime }$ ，使 $\left| PF ^ { \prime } \right|$ $=\left| P F _ { 2 } \right|$ ，
得 $\triangle P ^ { \prime } P F ^ { \prime } \cong \triangle P ^ { \prime } P F _ { 2 }$ ，
所以| $P^{\prime}F^{\prime}|$ $=|P^{\prime}F_{2}|$ ，且 $\left|P^{\prime}F_{1}\right|-\left|P^{\prime}F_{2}\right|=\left|P^{\prime}F_{1}\right|-\left|P^{\prime}F^{\prime}\right|<$ $|F_{1}F^{\prime}|=|PF_{1}|-|PF^{\prime}|=|PF_{1}|-|PF_{2}|$ .